
\documentclass[a4paper,12pt]{article}

% Use utf-8 encoding for foreign characters
\usepackage[utf8]{inputenc}

%Babel
\usepackage[american, russian]{babel}


% \usepackage{hyperref}

% For fullpage
\usepackage{fullpage}

\usepackage{wrapfig}

% Uncomment some of the following if you use the features
%
% Running Headers and footers
%\usepackage{fancyhdr}

% Multipart figures
%\usepackage{subfigure}

% More symbols
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}

%Theorem
\usepackage{amsthm}

% Surround parts of graphics with box
%\usepackage{boxedminipage}

% Package for including code in the document
%\usepackage{listings}

%Add indented line
\usepackage{indentfirst}

% If you want to generate a toc for each chapter (use with book)
%\usepackage{minitoc}

%For color text
\usepackage{color}


% This is now the recommended way for checking for PDFLaTeX:
\usepackage{ifpdf}


%\newif\ifpdf
%\ifx\pdfoutput\undefined
%\pdffalse % we are not running PDFLaTeX
%\else
%\pdfoutput=1 % we are running PDFLaTeX
%\pdftrue
%\fi



\ifpdf
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\else
\usepackage{graphicx}
\fi


\begin{document}
	\ifpdf
	\DeclareGraphicsExtensions{.pdf, .jpg, .tif}
	\else
	\DeclareGraphicsExtensions{.eps, .pdf, .jpg}
	\fi
	
\begin{center}
	{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А. Н. Колмогорова>>} 
\end{center}

\centerline{\it Белорецк, 20 -- 26 сентября 1997 года}

\centerline{\bf Второй тур. Лига А}

\medskip


1. Единичный квадрат разбит на $1012$ квадратиков. Может ли сумма периметров квадратиков, имеющих хотя бы одну общую точку с фиксированной диагональю единичного квадрата, быть больше $100$? \textit{(А. Я. Белов)}

2. На координатной плоскости нарисовали три параболы --- графики квадратных трехчленов. Оказалось, что множество точек, лежащих более чем на одной параболе, совпадает со множеством вершин парабол. Докажите, что найдутся две параболы, имеющие ровно одну общую точку. \textit{(А. В. Шаповалов)}

3. Существует ли натуральное число, которое не является делителем никакого натурального числа с суммой цифр, меньшей $1997$?

4. Положительные числа $a_1$, $a_2$, \dots , $a_n$, \dots образуют бесконечно возрастающую геометрическую прогрессию. Может ли последовательность дробных частей этих чисел оказаться бесконечно убывающей геометрической прогрессией? \textit{(А. В. Шаповалов)}

5. Все натуральные числа выписали подряд: $1234567891011\dots$ . Для каждого натурального числа вычислили произведение всех ненулевых цифр, стоящих в этом ряду слева от него (например, для числа $13$ получилось произведение $1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times1\times1\times1\times1\times2 = 725760$). 
Верно ли, что среди получившихся произведений бесконечно много точных $1997$-х степеней? \textit{(И. С. Рубанов)}

6. Существует ли числовая функция $f(x)$, определенная на отрезке $[-2;4]$ и принимающая все свои значения на том же отрезке, которая при всех $x\in[-2;4]$ удовлетворяет равенству $f(f(f(x))) = -x/2$ и графиком которой является ломаная, состоящая из конечного числа звеньев?

7. Рассмотрим произведение десяти попарно различных натуральных сомножителей, каждый из которых не больше $30$ и никакие два из которых не различаются ровно на $10$ или ровно на $20$. Найдите сумму всевозможных таких произведений. \textit{(В. В. Произволов)}

\begin{wrapfigure}{r}{30mm}
  \begin{center}
    \includegraphics{kolm1fig-1}
  \end{center}
\end{wrapfigure}

8. Докажите, что указанную на рисунке фигуру (составленную из квадратиков) нельзя разрезать по линиям сетки на два одинаковых многоугольника. \textit{(С. Г. Волченков)}

9. Пусть $X$ --- непустое конечное множество. Двое по очереди называют непустые подмножества множества $X$, причем запрещается называть такие, которые содержат хотя бы одно уже названное подмножество. Проигрывает тот игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? \textit{(И. С. Рубанов)}

10. $H$ --- основание высоты $AH$ остроугольного треугольника $ABC$, $M$ --- середина стороны $AB$. Докажите, что прямая $MH$ пересекает вписанную окружность треугольника $ABC$. \textit{(М. А. Евдокимов)}


\newpage

	\begin{center}
		{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А. Н. Колмогорова>>} 
	\end{center}

	\centerline{\it Белорецк, 20 -- 26 сентября 1997 года}

	\centerline{\bf Второй тур. Лига Б}
	
	1. Кузнечик совершил три прыжка по плоскости. Его первый прыжок --- на $1$ \textit{м}, второй --- на $2$ \textit{м}, третий --- на $4$ \textit{м}. Найдите фигуру, образованную всеми точками плоскости, до которых кузнечик сможет, начиная с данной точки, допрыгать за три описанных прыжка. \textit{(И. С. Рубанов)}
	
	2. На координатной плоскости нарисовали три параболы --- графики квадратных трехчленов. Оказалось, что множество точек, лежащих более чем на одной параболе, совпадает со множеством вершин парабол. Докажите, что найдутся две параболы, имеющие ровно одну общую точку. \textit{(А. В. Шаповалов)}
	
	3. Среднюю школу села Ерши окончили $10$ юношей и $10$ девушек. На выпускном вечере каждый юноша поссорился с $17$ одноклассниками, а каждая девушка --- с $9$ одноклассниками. Докажите, что последний танец могли танцевать одновременно не меньше пяти пар не ссорившихся между собой юношей и девушек. \textit{(С. Г. Волченков)}
	
	4. Назовем диагональ выпуклого семиугольника малой, если она соединяет концы соседних его сторон. Докажите, что всегда можно построить выпуклый семиугольник, стороны которого равны и параллельны малым диагоналям данного выпуклого семиугольника. \textit{(А. В. Шаповалов)}
	
	5. Можно ли расставить в вершинах и на ребрах куба натуральные числа так, чтобы на каждом ребре стоял НОД чисел в его концах, и на ребрах встретились все числа от $1$ до $12$? 
\textit{(А. В. Шаповалов)}
	
	6. В одной двухлитровой банке --- $96$ \textit{мл} воды, во второй --- $160$ \textit{мл}, в третьей --- $896$ \textit{мл}. Разрешается перелить из любой банки в любую другую столько воды, сколько в этой другой уже есть. Можно ли такими операциями собрать всю воду в одном сосуде? \textit{(И. С. Рубанов)}
	
	7. Рассмотрим произведение десяти попарно различных натуральных сомножителей, каждый из которых не больше $20$ и никакие два из которых не различаются ровно на $10$. Найдите сумму всевозможных таких произведений.\textit{(В. В. Произволов)}
	
	\begin{wrapfigure}{r}{15mm}
	  \begin{center}
	    \includegraphics{kolm1fig-2}
	  \end{center}
	\end{wrapfigure}
	
	8. Докажите, что указанную на рисунке фигуру (составленную из квадратиков) нельзя разрезать по линиям сетки на два одинаковых многоугольника. \textit{ (С. Г. Волченков)}
	
	9. Пусть $X$ --- непустое конечное множество. Двое по очереди называют непустые подмножества множества $X$, причем запрещается называть такие, которые содержат хотя бы одно уже названное подмножество. Проигрывает тот игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?  \textit{(И. С. Рубанов)}
	
	10. $H$ --- основание высоты $AH$ остроугольного треугольника $ABC$, $M$ --- середина стороны $AB$. Докажите, что прямая $MH$ пересекает вписанную окружность треугольника $ABC$. \textit{(М. А. Евдокимов)}
\end{document}
